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Une méthode pour résoudre numériquement le modèle de Black et Scholes consiste à discrétiser le problème continu par différences finies.
Rappelons que nous nous sommes placés dans le cas monodimentionnel d'une barre de longueur L pour simplifier. On choisit une discrétisation régulière de [0,L] en intervalle de longueur h tels que L=N.h et une discrétisation de l'intervalle de temps [0,T] en pas de temps de longueur (attention, est négatif) tels que T=N. . Notons xi le point i.h et tn le temps n. . Notons la valeur de la solution approchée au point x i et au temps tM-n .
On construit un maillage uniforme:
h=L/N
---I----------I---------- I--------------------------------- I ---------- I----------------------------------- I ------------> x
x0=0 x1 =h x 2 =2h x i x i+1 x N =L
Discrétisation en temps:
uM
u M-1
u M-2
u M-n
=T/N u M-n-1
u 0
---I-----------I-----------I-----------------------I
------------I--------------------I----
> t
t0=0 t1= t 2 =2 t n t n+1 t M =T
Rappelons que le modèle de Black et Scholes est une équation aux dérivées partielles parabolique de la forme :
pour tout (x,t) appartenant à ]0,L[x]0,T[condition finale : pour x appartenant à ]0,L[
conditions limites : pour t appartenant à ]0,T[
pour appartenant à ]0,T[
On cherche à approcher en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x i , t n+1 ) est :
On cherche à approcher en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x i+1 , tn ) et (x , tn ) sont :
donc
donc on remplace par la formule aux différences finies décentrée aval .
donc
donc on remplace par la formule aux différences finies centrée .
On cherche à approcher en utilisant les valeurs de u. Or, d'après le développement de Taylor ci-dessus de u en (x i+1 ,tn) et (x i-1, t n) on a :
donc on remplace par la formule aux différences finies centrée .
Donc on remplace par la formule aux différences finies consistante .
On cherche à approcher en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x N-1 , t n ) est :
donc
donc on remplace par la formule aux différences finies décentrée amont .
On obtient alors l'équation aux dérivées partielles discrétisée suivante :
appartenant à {1,2,...,N-1} x {0,1,2,....,M-1}
pour i appartenant à {1,2,...,N-1}
pour n appartenant à {0,1,2,....,M-1}
pour n appartenant à {0,1,2,....,M-1}
Ce schéma est un schéma à un pas, car les solutions approchées au temps tn+1 ne dépend que des solutions approchées au temps t n . C'est un schéma explicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps tn+1 en fonction des valeurs de la solution au temps précèdent.
Connaissant la solution discrète u(xi, tn+1) au temps t n+1, on veut connaître la solution discrète u(x i , t n) au temps t n . On a :
donc
d'où
Donc la solution discrète u(x i , tn) au temps t n est obtenu par la relation :