Discrétisation


 

                    Une méthode pour résoudre numériquement le modèle de Black et Scholes consiste à discrétiser le problème continu par différences finies.
                    Rappelons que nous nous sommes placés dans le cas monodimentionnel d'une barre de longueur L pour simplifier. On choisit une discrétisation régulière de [0,L] en intervalle de longueur h tels que L=N.h et une discrétisation de l'intervalle de temps [0,T] en pas de temps de longueur (attention, est négatif)  tels que T=N.
. Notons xi le point i.h et tn le temps n. . Notons  la valeur de la solution approchée au point x i et au temps tM-n .

        On construit un maillage uniforme:

                                                                                              h=L/N

---I----------I---------- I--------------------------------- I ---------- I----------------------------------- I ------------> x

  x0=0         x1 =h          x 2 =2h                                           x i               x i+1                                             x N =L

       


        Discrétisation en temps:


      uM                      u M-1                    u M-2                                              u M-n  =T/N   u M-n-1                                      u 0          
---I-----------I-----------I-----------------------I ------------I--------------------I---- > t

    t0=0                    t1=            t 2 =2                                        t n                            t n+1                                     t M =T

       


        Rappelons que le modèle de Black et Scholes est une équation aux dérivées partielles parabolique de la forme :

  pour  tout (x,t) appartenant à ]0,L[x]0,T[

condition finale :  pour x appartenant à ]0,L[

conditions limites :  pour t appartenant à ]0,T[
                                pour appartenant à ]0,T[





On cherche à approcher  en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x i , t n+1 ) est :


donc  
donc on remplace  par la formule aux différences
finies décentrée aval .

On cherche à approcher  en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x i+1 , tn ) et  (x , tn ) sont :


donc
donc on remplace  
par la formule aux différences finies centrée .

On cherche à approcher  en utilisant les valeurs de u. Or, d'après le développement de Taylor ci-dessus de u en   (x i+1 ,tn) et  (x i-1, t n) on a :

donc on remplace  
par la formule aux différences finies centrée .
     

  Donc on remplace  par la formule aux différences finies  consistante .

On cherche à approcher  en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x N-1 , t n ) est :

donc
donc on remplace  
par la formule aux différences finies décentrée amont  .




  On obtient alors l'équation aux dérivées partielles discrétisée suivante :

appartenant à {1,2,...,N-1} x {0,1,2,....,M-1}
pour i appartenant à {1,2,...,N-1}

pour n appartenant à {0,1,2,....,M-1}

pour n appartenant à {0,1,2,....,M-1}



        Ce schéma est un schéma à un pas, car les solutions approchées au temps tn+1 ne dépend que des solutions approchées au temps t n . C'est un schéma explicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps tn+1 en fonction des valeurs de la solution au temps précèdent.




Connaissant la solution discrète u(xi, tn+1) au temps t n+1, on veut connaître la solution discrète u(x i , t n) au temps t n . On a :

donc
 d'où
Donc
la solution discrète u(x i , tn) au temps t n   est obtenu par la relation :