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Une méthode pour résoudre numériquement le modèle de Black et Scholes consiste à discrétiser le problème continu par différences finies.
Rappelons que nous nous sommes placés dans le cas monodimentionnel d'une barre de longueur L pour simplifier. On choisit une discrétisation régulière de [0,L] en intervalle de longueur h tels que L=N.h et une discrétisation de l'intervalle de temps [0,T] en pas de temps de longueur(attention,
est négatif) tels que T=N.
. Notons xi le point i.h et tn le temps n.
. Notons
la valeur de la solution approchée au point x i et au temps tM-n .
On construit un maillage uniforme:
h=L/N
---I----------I---------- I--------------------------------- I ---------- I----------------------------------- I ------------> x
x0=0 x1 =h x 2 =2h x i x i+1 x N =L
Discrétisation en temps:
uM
u M-1
u M-2
u M-n
=T/N u M-n-1
u 0
---I-----------I-----------I-----------------------I
------------I--------------------I----
> t
t0=0
t1=
t 2
=2
t n
t n+1
t M
=T
Rappelons que le modèle de Black et Scholes est une équation aux dérivées partielles parabolique de la forme :
pour tout (x,t) appartenant à ]0,L[x]0,T[
condition finale :
pour x appartenant à ]0,L[
conditions limites :
pour t appartenant à ]0,T[
pour appartenant à ]0,T[
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On cherche à approcher
en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x i , t n+1 ) est :
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donc![]()
donc on remplacepar la formule aux différences finies décentrée aval
.
On cherche à approcher
en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x i+1 , tn ) et (x , tn ) sont :
![]()
![]()
donc![]()
donc on remplacepar la formule aux différences finies centrée
.
On cherche à approcher
en utilisant les valeurs de u. Or, d'après le développement de Taylor ci-dessus de u en (x i+1 ,tn) et (x i-1, t n) on a :
![]()
donc on remplacepar la formule aux différences finies centrée
.
Donc on remplace
par la formule aux différences finies consistante
.
donc
On cherche à approcher
en utilisant les valeurs de u. Or le développement de Taylor de u en (x N-1 , t n ) est :
![]()
![]()
donc on remplacepar la formule aux différences finies décentrée amont
.
![]()
On obtient alors l'équation aux dérivées partielles discrétisée suivante :
appartenant à {1,2,...,N-1} x {0,1,2,....,M-1}
pour i appartenant à {1,2,...,N-1}
pour n appartenant à {0,1,2,....,M-1}
pour n appartenant à {0,1,2,....,M-1}
Ce schéma est un schéma à un pas, car les solutions approchées au temps tn+1 ne dépend que des solutions approchées au temps t n . C'est un schéma explicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps tn+1 en fonction des valeurs de la solution au temps précèdent.
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Connaissant la solution discrète u(xi, tn+1) au temps t n+1, on veut connaître la solution discrète u(x i , t n) au temps t n . On a :
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donc![]()
d'où![]()
Donc la solution discrète u(x i , tn) au temps t n est obtenu par la relation :
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