Le modèle de Black et Scholes est le modèle mathématique pour prédire théoriquement les prix des options (à l'achat ou à la vente) sur une action ou sur un portefeuille d'actions. Ce modèle ne peut être appliqué qu'aux options de type européen, car il n'est pas adapté pour les options de type américain. En effet, il y a deux types d'options :
- l'option américain est exécrable à tout moment entre la date de l'achat initial et la date d'échéance.
- l'option européen n'est exécrable que le jour de l'échéance.
Lorsqu'un individu achète une option de type européen, en fait, il s'assure le droit d'acheter une action à la date d'échéance, au prix fixé le jour de l'achat de l'otion quelque soit le prix réel de l'action le jour de l'échéance. Bien sûr, il pourra ne pas exercer son option le jour de l'échéance. On note :
- t=0 , le jour de l'achat de l'option
- t=T , le jour de l'échéance
- u(x,0) , le prix de l'option
- K , le prix de l'action fixé le jour de la prise de l'option
- x=x(t) , le prix de l'action à toute date compris entre 0 et T
Les options sont des contrats très réactifs et par conséquent nécessitent un suivi régulier de la position. Il est possible d'anticiper quantitativement la variation de l'option en fonction de différents facteurs déterminants. Les deux facteurs les plus importants sont le taux d'intérêt et la volatilité . Les mesures de sensibilité respectives sont r et.
On cherche donc à déterminer u(x,0). Le modèle de Black et Scholes propose une équation parabolique rétrograde en temps pour le comportement de u :
pour tout (x,t) appartenant à ]0,L[x]0,T[
condition finale :
pour x appartenant à ]0,L[
conditions limites :
pour t appartenant à ]0,T[
pour appartenant à ]0,T[
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